Odchylky přímek a rovin

Odchylky přímek

Odchylka dvou různých různoběžných přímek je velikost každého z ostrých úhlů, které přímky spolu svírají. Odchylka dvou rovnoběžných přímek je 0° (0 rad).

V prostoru je třeba umět určit nejen odchylku různoběžek a rovnoběžek ale i přímek, které jsou mimoběžné.

Odchylka dvou mimoběžných přímek je odchylka různoběžných přímek vedených libovolným bodem prostoru rovnoběžně s danými mimoběžkami. To znamená, že stačí jednu z mimoběžek posunout rovnoběžně, tak aby ležela s druhou přímkou v jedné rovině, tím nám vzniknou různoběžky.

Vetšinou vám budu popisovat postup při hledání odchylek na jehlanu nebo krychli. Jak už víme tak v prostoru mohou nastat tři vzájemné polohy dvou přímek. Různoběžné, rovnoběžné, mimoběžné. V případě rovnoběžných přímek je odchylka snadno určitelná. Je prostě 0°. V případě různoběžných nebo mimoběžných přímek není postup při hledání odchylky tak jednoduchý. Většinou se odchylky hledají v trojúhelníku, který je v daném tělese.

Kolmost přímek

Dvě přímky jsou na sebe kolmé, je-li jejich odchylka 90°. Vzhledem k této definici odchylky mimoběžných přímek víme, že v prostoru mohou být na sebe kolmé i dvě mimoběžky. Dvě úsečky jsou na sebe kolmě právě tehdy když leží na kolmých přímkách.

Různoběžné přímky

Nyní si ukážeme příklad, ve kterém je velmi dobře viditelný trojúhelník, ze kterého se počítají odchylky.

1. Určete odchylku přímek AC a BD ve čtverci o straně 4cm.

Úhlopříčka v tomto čtverci podle Pythagorovy věty měří jak jistě víte uhlopříčky ve čtverci se půlí. A díky tomuto pravidlu jsme našli trojúhelník.

Úhel α u vrcholu V spočítáme pomocí kosinové věty:





2. Určete odchylku přímek BG a GE v krychli o hraně 4 cm.

Tento příklad je už těžší, protože musíme najít rovinu, ve které se obě přímky nalézají. Jde o rovinu BEG. Ještě musíme najít zbývající stranu trojúhelníka. V našem případě jde o stranu BE. Nyní bychom se mohli pustit do počítání úhlů, ale v tomto případě je to zbytečné. Všechny tři strany trojúhelníku BEG tvoří na krychli úhlopříčky a proto všechny tři strany mají stejnou délku. Jedná se tedy o trojúhelník rovnostranný a každý úhel v takovém trojúhelníku má 60° a proto i odchylka přímek BG a GE je rovna 60°.

Při řešení odchylek přímek, které se nacházejí na jehlanu, postupujeme stejně jako pří řešení odchylek přímek na krychli.

3. Určete odchylku přímek AS a AV v pravidelném čtyřbokém jehlanu o straně a= 4cm a výšce v 6cm.

Musíme najít trojúhelník podle kterého budeme určovat odchylky přímek. V našem případě se jedná o trojúhelník ASV. Bod S je střed podstavy.

Nyní můžeme ze znalosti pravoúhlého trojúhelníka spočítat odchylku přímek.



Mimoběžné přímky v krychli

V zásadě je počítání odchylek u mimoběžek stejné jako u různoběžek, stačí jen posunout jednu z přímek do stejné roviny s druhou přímkou.

4. Určete odchylku přímek AH a CF v krychli o hraně 4 cm.

Jsou dva způsoby řešení. Buď posuneme přímku AH a nebo CF. My si zvolíme posunutí AH. Musíme ji přesunout do stejné roviny jako je přímka CF, to znamená do roviny BCF. Přímka AH se promítne do přímky BG. Nyní máme obě přímky ve stejné rovině a můžeme postupovat stejně jako u řešení odchylek u různoběžek. A protože tenhle příklad jsme už řešili, tak jistě víme že odchylka přímek AH a CF je 90°.

5. Určete odchylku přímek FG a BH v krychli o hraně 4 cm.

V tomto příkladu musíme opět posunout jednu z přímek do roviny k té druhé. Je to přímka FG, kterou promítneme na přímku EH. Spojením bodů E a B dostaneme pravoúhlý trojúhelník BEH s pravým úhlem u vrcholu E.

Délka tělesové uhlopříčky v krychli je .

V tomto případě je více možných postupů lze počítat cos(α), sin(α),tan(a) i cotan(α), protože známe všechny 3 strany trojúhelníka. My budeme postupovat prež funkci tan(α).




webová prezentace k maturitní práci studenta SPŠE Plzeň ©2011 Michal Peković